Metodi topologici per problemi differenziali non lineari
a.a. 2025/26
Responsabile didattico: Guglielmo Feltrin
Periodo: annuale
Durata: 28 ore
Programma: Il corso disciplinare dal titolo “Metodi topologici per problemi differenziali non lineari” ha come obiettivo principale l’introduzione di una serie di strumenti topologici utili per affrontare problemi non lineari in analisi matematica, con particolare attenzione alle equazioni differenziali ordinarie (O.D.E.) e ai fenomeni dinamici complessi, come la biforcazione, la risonanza e il caos. [slide 2] A differenza dei metodi puramente analitici, i metodi topologici permettono di dimostrare l’esistenza, la molteplicità e studiare le proprietà qualitative delle soluzioni, anche in assenza di formule esplicite. Sono strumenti robusti, che sono spesso applicabili in contesti molto generali. Durante il corso esploreremo varie tecniche sia classiche, come il metodo delle sopra e sotto-soluzioni, che più moderne, come il metodo dello stretching-along-the-paths, attraverso semplici esempi. Inoltre capiremo come tali tecniche sono utilizzate, anche nei recenti risultati di ricerca, per l’analisi di modelli reali. Citiamo brevemente qualche esempio concreto. Immaginate di avere un manico di scopa in verticale su un dito e di provare a non farlo cadere, si tratta di un pendolo con la base soggetta a vibrazioni ad alta frequenza. Tale pendolo può stabilizzarsi in posizione capovolta, che altrimenti sappiamo essere instabile. Questo succede perché le vibrazioni influenzano le forze che agiscono sul pendolo, cambiando le regole del gioco. Questa stabilizzazione rappresenta una biforcazione, in cui l’equilibrio cambia natura in funzione dell’ampiezza e della frequenza della vibrazione.
Il corso è rivolto agli studenti della classe scientifica che abbiano delle conoscenze di base su Algebra lineare e Topologia, e che conoscano gli spazi normati e la teoria elementare delle ODE, come il teorema di esistenza e unicità di Cauchy-Lipschitz e il teorema di esistenza di Peano (Analisi matematica II). Non servono conoscenze avanzate di topologia: tutto il necessario verrà introdotto. Benché collegato in modo naturale ai corsi di “Analisi matematica III” della laurea triennale in Matematica e di “Teoria qualitativa dei sistemi dinamici” della laurea magistrale in Matematica, non ci saranno intersezioni di contenuto, ma verranno affrontati temi complementari. Inoltre sottolineo che non è necessario aver seguito questi due corsi appena menzionati. In sintesi, si tratta di un corso che offre una prospettiva diversa e complementare rispetto ai classici approcci analitici, utile non solo per chi è interessato alle ODE, ma anche per chi è interessato a sistemi dinamici e modelli matematici complessi.